Ví dụ: Vòng Z của các số nguyên Gaussian là mô-đun Z được tạo ra lần đầu tiên và Z là Noetherian. Theo Định lý trước, Z là một vành Noetherian. Định lý: Các vành phân số của vành Noetherian là Noetherian.
Z X có phải là chiếc nhẫn của người Noetherian không?
Vòng Z [X, 1 / X] là Noetherianvì nó đẳng cấu với Z [X, Y] / (XY - 1).
Tại sao lại là Z Noetherian?
Nhưng chỉ có vô số iđêan trong Z chứa I1 vì chúng tương ứng với các iđêan của vành hữu hạn Z / (a) theo Bổ đề 1.21. Do đó chuỗi không thể dài vô hạn, và do đó Z là Noetherian.
Miền Noetherian là gì?
Bất kỳ vành lý tưởng chính nào, chẳng hạn như các số nguyên, là Noetherian vì mọi lý tưởng đều được tạo bởi một phần tử duy nhất Điều này bao gồm các miền lý tưởng chính và miền Euclide. Miền Dedekind (ví dụ: các vòng số nguyên) là một miền Noetherian trong đó mọi lý tưởng được tạo bởi nhiều nhất hai phần tử.
Làm thế nào để bạn chứng minh một chiếc nhẫn là Noetherian?
Định lý Một vành R là Noetherian nếu và chỉ nếu mọi tập các iđêan không rỗng của R đều chứa một phần tử cực đạiChứng minh ⇐=Cho I1 ⊆ I2 ⊆ ·· là một chuỗi các iđêan tăng dần của R. Đặt S={I1, I2,…}. Nếu mọi tập hợp không trống của các iđêan chứa một phần tử cực đại thì S chứa một phần tử cực đại, giả sử IN.
