Khi nào thì một nhóm abel có tính chu kỳ?

2024 Tác giả: Fiona Howard | [email protected]. Sửa đổi lần cuối: 2024-01-10 06:44

Một cách không chính thức, một nhóm là tuần hoàn nếu nó được tạo bởi một phần tử duy nhất. Nó là abelian nếu phép nhân đi làm. Một nhóm là tuần hoàn nếu nó có thể được tạo bởi một phần tử duy nhất.

Nhóm abelian có tuần hoàn không?

Tất cả các nhóm tuần hoàn đều là Abelian, nhưng một nhóm Abel không nhất thiết phải là tuần hoàn. Tất cả các nhóm con của một nhóm Abel là bình thường. Trong một nhóm Abelian, mỗi phần tử nằm trong một lớp liên hợp và bảng ký tự liên quan đến quyền hạn của một phần tử duy nhất được gọi là trình tạo nhóm.

Làm thế nào để bạn chứng minh một nhóm abelian là tuần hoàn?

Bằng chứng

1. Gọi G là nhóm tuần hoàn với bộ sinh g∈G. Cụ thể, chúng ta có G=⟨g⟩ (mọi phần tử trong G đều là lũy thừa của g.)
2. Cho a và b là các phần tử tùy ý trong G. Khi đó tồn tại n, m∈Z sao cho a=gn và b=gm.
3. Do đó ta thu được ab=ba với a, b∈G tùy ý. Do đó G là một nhóm abel.

Làm thế nào để bạn biết một nhóm có theo chu kỳ hay không?

4 Câu trả lời. Một nhóm hữu hạn là tuần hoàn nếu và chỉ khi, nó có chính xác một nhóm con của mỗi ước số của thứ tự. Vì vậy, nếu bạn tìm thấy hai nhóm con có cùng thứ tự, thì nhóm đó không phải là tuần hoàn và điều đó đôi khi có thể hữu ích.

Giải thích nhóm tuần hoàn với một ví dụ là gì?

Ví dụ: (Z / 6Z)^×={1, 5} và vì 6 là hai lần một số nguyên tố lẻ nên là một nhóm tuần hoàn. … Khi (Z / nZ)^×là tuần hoàn, các bộ sinh của nó được gọi là gốc nguyên thủy modulo n. Đối với một số nguyên tố p, nhóm (Z / pZ)^{×luôn là tuần hoàn, bao gồm các phần tử khác 0 của trường hữu hạn có bậc p.}