Bởi vì đẳng cấu bảo toàn một số khía cạnh cấu trúc của một tập hợp hoặc nhóm toán học, nó thường được sử dụng để ánh xạ một tập hợp phức tạp vào một tập hợp đơn giản hơn hoặc được biết đến nhiều hơn để thiết lập thuộc tính của tập hợp ban đầu. Isomorphisms là một trong những chủ đề được nghiên cứu trong lý thuyết nhóm.
Hàm đẳng cấu là gì?
Trong đại số trừu tượng, đẳng cấu nhóm là một hàm giữa hai nhóm thiết lập sự tương ứng một-một giữa các phần tử của nhóm theo cách tôn trọng các phép toán nhóm đã cho Nếu tồn tại sự đẳng cấu giữa hai nhóm thì các nhóm đó được gọi là đẳng cấu.
Điều gì tạo nên đẳng cấu?
Định nghĩa 1 (Tính đẳng hình của không gian vectơ). Hai không gian vectơ V và W trên cùng một trường F là đẳng cấu nếu tồn tại một lưỡng phân T: V → W bảo toàn phép cộng và phép nhân vô hướng, nghĩa là, với mọi vectơ u và v trong V và tất cả các vô hướng c ∈ F, T (u + v)=T (u) + T (v) và T (cv)=cT (v).
Lợi thế của sự đẳng cấu giữa hai nhóm là gì?
Nhóm sở hữu các thuộc tính hoặc tính năng khác nhau được bảo toàn trong phép đẳng cấuMột phép đẳng cấu bảo toàn các thuộc tính như thứ tự của nhóm, cho dù nhóm là abelian hay không abel, số lượng các phần tử của mỗi đơn hàng, v.v. Hai nhóm khác nhau về bất kỳ thuộc tính nào trong số này không phải là đồng phân.
Tính chất của đẳng cấu là gì?
Định lý 1: Nếu tồn tại đẳng cấu giữa hai nhóm thì các đồng dạng tương ứng với, tức là nếu f: G → G ′ là đồng phân và e, e ′ tương ứng là các đồng dạng trong G, G ′, thì f (e)=e ′.
